Tarea complementaria - Análisis probabilístico

Calendario de actividades para enero

• 2 de enero no hay clase
• 3 de enero último día de clase (11:00 horas a 13:00 horas)
• 4 de enero entrega de la Tarea complementaria, examen corto de reposición (11:00 a 11:30 horas)
• 5 de enero no hay actividades
• 6 de enero examen final (11:00 a 13:00 horas)

Tarea complementaria

Lineamientos del informe

• Ponderación: 5 puntos netos (por el cuarto examen corto) .
• Grupos con un máximo de cuatro integrantes.
• No entregar folder.
• En la carátula no es permitido agregar integrantes a mano.
• Todo el informe debe ser impreso con el mismo formato (márgenes, tipo de letra).
• Indispensable agregar lista de referencias (libros o páginas web).

Contenidos a investigar

• Tema: Confiabilidad de sistemas.
• Definición de confiabilidad.
• Función estructural de un sistema.
• Confiabilidad de un sistema.
• Sistema en serie. Ejemplo.
• Sistema en paralelo. Ejemplo.
• Confiabilidad basada en tiempos de fallas.
• Función de densidad de probabilidad $f(t)$ del tiempo de falla $t$.
• Función de distribución (probabilidad acumulada) del tiempo de falla $F(t)$. Significado de $R(t) = 1- F(t)$.
• Índice de falla $h(t)$.
• Índice de fallas promedio $E(t)$.
• Modelo exponencial. Ejemplo.

Cadena de Markov absorbente

Ejemplo 8, capítulo 17, Investigación de operaciones, Wayne L. Winston, cuarta edición.

El bufete jurídico de Mason y Burger emplea tres tipos de abogados: principiantes, experimentados y asociados. Durante un año determinado, hay una probabilidad 0.15 de que un abogado principiante sea promovido a experimentado y una probabilidad 0.05 de que salga de la empresa. También hay una probabilidad 0.2 de que un abogado experimentado sea promovido a asociado y una probabilidad 0.1 de que salga de la empresa. La probabilidad de que un asociado salga de la empresa es de 0.05. La empresa nunca degrada a un abogado.

1. ¿Cuál es el tiempo promedio que un abogado principiante recién contratado dure trabajando en la empresa?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un abogado principiante se retire del bufete como asociado?

Solución.

Tenemos los estados transitorios: principiante, experimentado y asociado; estados absorbentes: sale como no asociado, sale como asociado. En ese orden podemos construir la matriz de transición de un paso siguiente. $$\tau = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.15 & 0 & 0.05 & 0 \cr 0 & 0.7 & 0.2 & 0.1 & 0 \cr 0 & 0 & 0.95 & 0 & 0.05 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$ al hacer la partición para obtener las submatrices $Q$ y $R$: $$Q=\begin{pmatrix} 0.8 & 0.15 & 0\\ 0 & 0.7 & 0.2\\ 0 & 0 & 0.95 \end{pmatrix},$$ $$R=\begin{pmatrix} 0.05 & 0\\ 0.1 & 0\\ 0 & 0.05 \end{pmatrix},$$ como hay tres estados transitorios necesitamos $$I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}.$$
Los cálculos se guardarán en las matrices $$B=(I_3-Q)^{-1}, \qquad C=B\, R,$$ donde $B$ es la matriz fundamental de la cadena de Markov absorbente.

Uso de GeoGebra en teléfono inteligente

Ahora se darán los códigos para cada una de las matrices.

• $Q$, $\texttt{q = {{0.8, 0.15, 0}, {0, 0.7, 0.2}, {0, 0, 0.95}}}$.
• $R$, $\texttt{r = {{0.05, 0}, {0.1, 0}, {0, 0.05}}}$.
• $I_3$, $\texttt{i3 = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}}$.
• Matriz fundamental $B$, $\texttt{b = Inversa[i3 - q]}$.
• Matriz de probabilidades $C$, $\texttt{c = b r}$, un espacio entre variables indica multiplicación.

A continuación un par de capturas desde el teléfono para los dos últimas matrices.

Cálculo de la matriz fundamental (tiempos promedios en estados de transición)

Cálculo de las probabilidades desde un estado transitorio a uno absorbente

Respuestas

1. Suma de las entradas en la primera fila de $B$ $$5+2.5+10=17.5 \text{ años.}$$
2. La probabilidad corresponde a la entrada $C_{1,2}=0.5$.

Vídeo capturado a partir de la salida en el teléfono